TRIGONOMETRI (BAGIAN MENENGAH) | Asal mula rumus Cos (α±β), Sin (α±β), dan Tan(α±β)

I. Rumus untuk Cos (α±β)

   I.A. Cos(α+β)

AC²   = {Cos(α+β)-1}²+{Sin(α+β)-0}²

          = {Cos²(α+β)-2Cos(α+β)+1}+{Sin²(α+β)}

          = {Cos²(α+β) +Sin²(α+β)}+1-2Cos(α+β)

          =                    {1}                 +1-2Cos(α+β)

          = 2-2Cos(α+β) 

BD²   = (Cos β - Cos α)² + (-Sin β - Sin α)²

          = (Cos² β -2Cosβ.Cosα +Cos² α) + (Sin² β +2 Sinβ.Sinα +Sin² α)

          = (Cos² β +Sin² β)+( Cos² α +Sin² α)+( 2 Sinβ.Sinα-2Cosβ.Cosα)

          =             (1)           +             (1)          +( 2 Sinβ.Sinα-2Cosβ.Cosα)

          = 2+2 Sinβ.Sinα-2Cosβ.Cosα

AC²=BD²

2-2Cos(α+β) = 2+2 Sinβ.Sinα-2Cosβ.Cosα

-Cos(α+β) = Sinβ.Sinα-Cosβ.Cosα

Cos(α+β) = Cosβ.Cosα-Sinβ.Sinα

   I.B. Rumus Cos(α-β)

Cos(α+β)= Cosβ.Cosα-Sinβ.Sinα

Jadi, Cos(α-β)=Cos(α+(-β))

                        Cosα.Cos(-β)-Sinα.Sin(-β)

                        Cosα.Cosβ-Sinα.(-Sinβ)

Cos(α-β)=Cosα.Cosβ+Sinα.Sinβ

jadi, dari kedua rumus cos tersebut, dapat disimpulkan:

II.Rumus untuk Sin(α±β)

   II.A. Rumus Sin(α+β)

Sebelumnya kita ketahui bahwa:

Cos(90-α)=Sinα

Sin(90-α)=Cosα

Berarti Sin(α+β)= Cos(90-(α+β))

                            Cos(90-α-β)

                            Cos((90-α)-β)

                            Cos(90-α).Cos(β)+Sin(90-α).Sin(β)

Sin(α+β)= Sin(α) .Cos(β)+ Cos(α) .Sin(β)

Jadi untuk rumus Sin(α-β) bisa disimpulkan menjadi:

Sin(α-β)= Sin(α) .Cos(β)- Cos(α) .Sin(β)

Jadi, dari kedua rumus Sin tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.

Sin(α±β)= Sin(α) .Cos(β) ± Cos(α) .Sin(β)

III. Rumus Tan(α±β)

       Untuk Rumus Tan(α±β) adalah sebagai berikut.

   III.A. Rumus Tan(α-β)

Telah kita ketahui bahwa:

 , maka ,Lalu kita masukan rumus Sin(α-β) dan Cos(α-β) kedalam persamaan diatas.

Setelah kita memasukan rumus Sin(α-β) dan Cos(α-β) tadi, lalu kita bagikan ruas atas dan ruas bawah dengan: 

Sehingga menjadi:    

Lalu menjadi:, lalu yang bisa dicoret, dicoret lah:

   III.B. Rumus Tan(α+β)

Lalu kita masukan rumus Sin(α+β) dan Cos(α+β) kedalam persamaan diatas.

Lalu menjadi: lalu yang bisa dicoret, dicoret lah:

jadi, dari kedua rumus Tan tersebut, dapat disimpulkan menjadi satu rumus, yaitu:

Makasih atas perhatiannya ^_^. Silahkan kunjungi artikel lainnya yang terkait:

TRIGONOMETRI (BAGIAN DASAR)  | Mengenal Cos, Sin dan Tan

TRIGONOMETRI (BAGIAN AKHIR)  | Mempelajari Rumus Trigonometri sudut ganda; Rumus Trigonometri 1/2 θ; dan Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus

Kedua artikel yang di atas sedang dalam proses, jadi dimohon kesabarannya ya O:) makasih ^_^


silahkan kunjungi artikel lainnya ^_^





tagline:

Bagaimana menghitung Cos (α+β) dan Cos (α-β)
Bagaimana menghitung Sin (α+β) dan Sin (α-β)
Bagaimana menghitung Tan (α+β) dan Tan (α-β)
Cos (alpha + betha) Sin (alpha + betha) Tan (alpha + betha)
Cos (alpha - betha) Sin (alpha - betha) Tan (alpha - betha)
sejarah cos sin tan
history of cos sin tan
how to calculate trigonometry